12.矩阵的秩及相关性质

[X_{mn}= begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & ... & x_{1n}\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & ... & x_{2n}\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & ... & x_{3n}\ &&......\ x_{m1} & x_{m2} & x_{m3} & ... & x_{mn}\ end{bmatrix} ]

在矩阵中任选k行。如k=3，则有：

[X_{mn}= begin{bmatrix} begin{array}{c} mathbf{x_{11}} & mathbf{x_{12}} & x_{13} & ... & mathbf{x_{1n}}\ hline mathbf{x_{21}} & mathbf{x_{22}} & x_{23} & ... & mathbf{x_{2n}}\ mathbf{x_{31}} & mathbf{x_{32}} & x_{33} & ... & mathbf{x_{3n}}\ hline &&......\ mathbf{x_{m1}} & mathbf{x_{m2}} & x_{m3} & ... & mathbf{x_{mn}}\ hline end{array} end{bmatrix} ]

以上分别选中第1行、第3行、第m行；第1列、第2列、第n列，则所选行列交叉处元素形成的行列式为：

[begin{vmatrix} {x_{11}} & {x_{12}}& {x_{1n}}\ {x_{31}} & {x_{32}}& {x_{3n}}\ {x_{m1}} & {x_{m2}}& {x_{mn}}\ end{vmatrix} ]

称以上行列式为矩阵X的3阶子式

12.1.2 k阶子式的定义

在(mtimes n)的矩阵中，任取k行和k列（行列数均为k），则所选行列交叉处的(k^2)个元素所形成的行列式成为原矩阵的k阶子式，且k阶子式共有(C_m^k cdot C_n^k个)

12.2 矩阵的秩

12.2.1 矩阵的秩的定义

若矩阵X中存在一个不为0的r阶子式D，且矩阵X的所有r+1阶子式均为0

则称数r为矩阵X的秩，记为R(X)；D为矩阵X的最高阶非零子式。

12.2.2 矩阵的秩相关性质

• (|X|=|X^T| Rightarrow R(X)=R(X^T))

• (n)阶方阵(A)的(n)阶子式为(|A|)，且：(begin{cases}R(A)=n，|A| neq0（A可逆）\R(A)

12.3 矩阵求秩的方法

12.3.1 常规矩阵求秩

求以下矩阵A的秩R(A)：

[A= begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\ 2 & 3 & 5\ 4 & 7 & 1 end{bmatrix} ]

由计算可知，(|A|=0)，故(R(A)

A的2阶子式中，取较简单的进行计算：

[begin{vmatrix} 1 & 2\ 2 & 3 end{vmatrix}=-1neq0 ]

由此，可知R(A)=2。

12.3.2 行阶梯形矩阵求秩

求以下行阶梯形矩阵B的秩R(B)：

[B= begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 3 & 2\ 0 & 3 & 1 & -2 & 5\ 0 & 0 & 0 & 4 & -3\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} ]

由(B)的第4行为全0行(;Rightarrow |B|=0 ;Rightarrow R(B)

故取(B)前3行中较简单的3阶子式（上三角行列式）进行计算：

[begin{vmatrix} 2 & -1 & 3\ 0 & 3 & -2 \ 0 & 0 & 4 end{vmatrix}=2times3times4=24neq0 ]

由此，可知R(B)=3

12.3.3 矩阵求秩方法总结

由常规求秩方法和行阶梯矩阵求秩方法的对比可知：

• 常规求秩方法受限于复杂行列式的计算

• 而行阶梯矩阵求秩方法通过灵活运用行列式相关性质，简化了行列式计算过程，从而使矩阵求秩过程更为直观（秩=非0行个数）