对于任意存在第(i,j)两行、或第(i,j)两列的矩阵，满足以下初等变换规则：
（第j行、第j列同理）
设存在以下矩阵：
该矩阵对应一个四元线性方程组，每列分别对应未知数(x_1,x_2,x_3,x_4)
现需通过线性变换求解该方程组，首先对(x_1)对应列进行消元，过程如下：
(r_1 leftrightarrow r_2)：
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\ end{bmatrix} ]
(r_3 times frac {1} {2})：
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2\ 2 & -3 & 1 & -1 & 2\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\ end{bmatrix} ]
(r_2-r_3)：
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 0 & 2 & -2 & 2 & 0\ 2 & -3 & 1 & -1 & 2\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\ end{bmatrix} ]
(r_3-2times r_1)：
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 0 & 2 & -2 & 2 & 0\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\ end{bmatrix} ]
(r_4-3times r_1)：
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 0 & 2 & -2 & 2 & 0\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3\ end{bmatrix} ]
至此，(x_1)对应列已消元完成，继续对(x_2)对应列进行消元：
(r_2 times frac 1 2):
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3\ end{bmatrix} ]
(r_3+5times r_2)：
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3\ end{bmatrix} ]
(r4-3times r_2)：
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\ end{bmatrix} ]
至此，(x_2)对应列已消元完成，同时(x_3)对应列也已消元完成，继续对(x_4)对应列进行消元：
(r_3 leftrightarrow r_4)：
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6\ end{bmatrix} ]
(r_4-2r_3)：
[X= begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{bmatrix} ]
进一步优化，使4个未知数对应列均为1或-1：
(r_1-r_2)：
[X= begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{bmatrix} ]
进一步优化，消去多余元：
(r_2-r_3):
[tag{1} X= begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{bmatrix} ]
根据以上结果（1）式，可得如下方程组：
[begin{cases} x_1-x_3=4\ x_2-x_3=3\ x_4=-3 end{cases} ]
方程组中(x_3)出现次数较多，可设(x_3=c)（任意常数），则存在如下矩阵(X')表示原线性方程组的解：
[tag{2} X'= begin{bmatrix} x_1\ x_2\ x_3\ x_4 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 4+c\ 3+c\ c\ -3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 4+c\ 3+c\ c\ -3 end{bmatrix} = ccdot begin{bmatrix} 1\ 1\ 1\ 0 end{bmatrix} + begin{bmatrix} 4\ 3\ 0\ -3 end{bmatrix} ]
设存在矩阵(F)如下：
[F= begin{bmatrix} Er&0&...&0\ 0&0&...&0\ ...&...&...&...\ 0&0&0&0 end{bmatrix} ]
矩阵(F)中，左上角为一单位矩阵，其余元素均为0，称这样的矩阵为(矩阵的标准形)
[若存在任意mtimes n的矩阵，则其经过有限次初等行列变换后总可变换为矩阵的标准形 ]
证明过程如下：
对10.1.5中矩阵变换结果（1）式继续进行列变换可得：
(c_3 leftrightarrow c_4)，直接扩充左上角单位矩阵：
[X= begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 4\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{bmatrix} ]
(c_4+c_1+c_2)，消去(c_4)中元素：
[X= begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 4\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{bmatrix} ]
(c_5-4c_1-3c_2+3c_3)，消去(c_5)中元素：
[X= begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{bmatrix} ]
经过以上变换过程，矩阵X变换成为了矩阵的标准形。
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