蒙蒂-霍尔问题

蒙蒂-霍尔问题是一个著名的概率谜题，它发生在一个游戏节目。

假设你正在参加一个游戏节目，节目中有三扇门：一扇门后面有一辆汽车（奖品），另外两扇门后面有山羊。
你选择了一扇门（比方说 1 号门），但没有打开。
主持人蒙特-霍尔（Monty Hall）知道每扇门后面有什么，他打开了另一扇门（比如说 3 号门,这门不是他随便打开的，他一定会打开有山羊的门），你发现门后有一只山羊。
蒙蒂让你做出选择：你可以坚持原来的选择（门 1），或者换到剩下的未打开的门（门 2）。如果是你，应该怎么选择对自己最有利呢？

大部分人的直觉是，主持人帮我排除了一个门，剩下的两个门里必定有一个汽车，我无论再怎么选（我随机得选择其中的一个)，得到汽车的概率都是1/2。没错的，重复一万次，只要你每次都均匀得随机换或者不换，得到汽车概率当然就是1/2。

那难道没有更好的策略吗？有，只要你次次都选择换，那么重复一万次，你获得汽车的概率就是2/3啦！为啥？

因为三门中有两门后面是山羊，你一开始选择的门后面是山羊的概率就是2/3。如果你选中了山羊的门，主持人然后又排除掉一个山羊的门，剩下那头门后面不就是汽车吗？你换，不就有汽车了吗？那你换门得到汽车的概率就等于=你一开始选中山羊的概率就等于=2/3嘛！只有你一开始选中的是山羊，你换门才得到汽车！只要你一开始选中的是山羊（记作事件A），你换门就能得到汽车（记作事件B）！事件A等价于事件B，互相包含！

不换门，重复一万次试验都不换，得到汽车的概率就是1/3。而让你重新随机选择换门还是不换，若是均匀得随机，你一半试验是换了，一半没换，得到汽车的概率就中和掉了，（1/3+2/3）/2=1/2，就是你直觉得到的概率。

许多许多文章都没有解释清楚，甚至绕进了哲学里去，其实啊，还是要把随机试验，事件，随机变量，随机过程等等课本上的基础知识掌握好哦，事实上，大部分烧脑的概率问题，关键是要在于把随机试验，事件等表示出来，并注意时间的变化，事件发生的先后顺序等。参考我的其他博客，可供复习回顾概统的知识。
不过，我也被这个问题困扰了好两天，也是在洗澡的时候突然想明白的。我属于是死读书那类人，总是爱钻牛角尖，唉。

让我们换一个更复杂情景，看看你悟了没。

假如让你在1-100当中选一个数字，如果选中了某个获奖数字，会有奖励，其他不会。你先选择了一个数字，该数字中奖的概率当然是1/100。然后，甲像节目主持人一样，刻意的避开你先选中的数字，在剩下的里面，再避开获奖数字，然后排除了50个数字。请问，此时你那个选中的数字中奖的概率是多少？

是1/100！1/50会跳入你的脑海，是因为要在剩下的里面重新均匀随机选择一个的时候，中奖概率才是1/50。我们把人的均匀随机选数字，可以看作一枚随机投出去的骰子的落地，也就是说可以看作一个随机试验，我们观测的结果是人选的数字是几，相当于观测的是骰子的点数（是基本事件），随机试验所有可能的结果，构成了样本空间。而先选择一个数字，样本空间是1-100，砍掉一半再去选时，样本空间已经少了一半了。

另一种情况是，他可以在非获奖数字中随机得进行排除，那么你先选中的数字也有被排除的可能，且被排除的几率是1/100*0+99/100*50/99=1/2。假设在这种情况下，甲进行了随机排除后，你的数字还留着，此时你这个数字中奖的概率就是P(A|B),A事件代表你的数字中奖，B事件代表你的数字没被排除。